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百官志》并列《五经算》为算经十书之一，与《周髀》共限一年习肄，及试士各举一条为问，此书注端悉有臣淳风等谨案字。然则唐时算科之《五经算》即是书矣。是书世无传本，惟散见於《永乐大典》中，虽割裂失次，尚属完书。据淳风注，於《尚书》推定闰条自言其解释之例，则知造端於此。又如《论语》千乘之国，周官盖弓宇曲并用开方之术，详於前而略於后。循其义例，以各经之叙推之，其旧第尚可以考见。谨依《唐·艺文志》所载之数，厘为上、下二卷，其中采摭经史，多唐以前旧本。

如引司马彪《志序论》十二律各统一月，当月者各自为宫，今本《后汉志》统讹作终，月讹作日。革木之声，今志讹作草木。阳下生阴，阴下生阳，始於黄钟，终於仲吕，今志脱始於黄钟四字。律为寸，於准为尺，律为分，於准为寸，下文承准寸言不盈者十之所得为分，今志脱律为分於准为寸二句。《礼记义疏》引志脱误亦然。又两引上生不得过黄钟之浊，下生不得及黄钟之清，申之日，是则上生不得过九寸，下生不得减四寸五分，与蔡邕《月令章句》谓黄钟少宫管长四寸五分合。且足证中央土律中黄钟之宫乃黄钟清律，不得溷同於仲冬月律中黄钟为最长之浊律。《吕氏春秋》，先制黄钟之宫，次制十有二筒，亦黄钟有清律之证。

今志作上生不得过黄钟之清浊，下生不得及黄钟之数，实因清字讹衍在上，后人改窜其下，揆诸律法，遂不可通。盖是书不特为算家所不废，实足以发明经史，核订疑义，於考证之学尤为有功焉。

△《张邱建算经》·三卷（吏部侍郎王杰家藏本）

原本不题撰人时代。《唐志》载张邱建《算经》一卷，甄鸾注，则当在甄鸾之前。书首邱建自序引及夏侯阳、孙子之术，则当在夏侯阳之后也。《隋志》载此书作二卷。《唐志》一卷，甄鸾注外，别有李淳风注张邱建《算经》三卷。郑樵《通志·艺文略》，张邱建《算经》二卷，又三卷，李淳风注。《宋·艺文志》、《中兴书目》亦俱作三卷，则析为三卷自淳风始。此本乃毛晋汲古阁影抄宋椠，云得之太仓王氏。首题汉中郡守前司隶甄鸾注经，朝议大夫行太史令上轻车都尉李淳风等奉敕注释，算学博士刘孝孙撰细草。盖犹北宋时秘书监赵彦若等校定刊行之本。其中称术曰者，乃鸾所注。草曰者，孝孙所增。其细字夹注称臣淳风等谨案者，不过十数处。盖有疑则释，非节节为之注也。其书体例皆设为问答，以参校而申明之，凡一百条。简奥古质，颇类《九章》，与近术不同。而条理精密，实能深究古人之意，故唐代颁之算学，以为颛业。今详加校勘，其上卷起自乘除之数，至第十二问为勾股测望，十三问为勾股和较，十四问为重勾股颠倒测望，十五问为卧勾股左右进退测望，此四问皆藉图以明，旧本所无，今特依义补入。

自十六问以下皆取差分、和较、均输参杂为目，间附以方圆幂积。至中卷之第六问，乃入商功，后复及贵贱、差分、倍半、衰分、方田诸术。惟弧矢一问原本不完，未可以他术增补，姑仍其阙。下卷首问失题，又细草下亦脱二十余字，以有后文可据，谨为补足。其鹿垣仓三条，亦各为之图，系诸原问之左，俾学者得以考见其端委焉。

△《缉古算经》·一卷（吏部侍郎王杰家藏本）

唐王孝通撰。其结衔称通直郎太史丞。其始末未详。惟《旧唐书·律历志》“戊寅历”条下有武德九年校历人算历博士臣王孝通题，盖即其人也。是书一名《缉古算术》，《唐书·艺文志》、《崇文总目》俱称李淳风注。今案此本卷首实题孝通撰并注，则《唐志》及《总目》为误。又《宋志》作一卷，《唐志》、郑樵《艺文略》俱作四卷，王应麟《玉海》谓今亡其三。案《孝通原表》称二十术，检勘书内条目相同，并无阙佚，不知应麟何所据而云然也。书中大旨，以《九章·商功篇》有平地役功受袤之术，其於上宽下狭窄，前高后卑，阙而不论，世人多不达其理。因于平地之余，续狭斜之法。凡推朔夜半时月之所离者一术，推仰观台及羡道高广袤者一术，推筑堤授工上下广及高袤不同者一术，推筑龙尾堤者一术，推穿河授工斜正袤上广及深并漘上广不同者一术，推四郡输粟窖上下广袤馀郡别出入及窖深广者一术，推亭仓上下方高者一术，推刍薨、圆囤者各一术，推方仓圆窖对待者五术，推勾股边积互求者六术，共合二十术之数。中间每以人户道里，大小远近，及材物之轻重，工作之时日，乘除进退，参伍以得其法。

颇不以深浅为次第，故读者或不能骤通。而卒篇以后，由源竟委，端绪足寻，洵为思极毫芒，曲尽事理。唐代明算立学，习此书者以三年为限，亦知其术之精妙，非旦夕所克竟其义矣。其书世罕流播，此乃宋元丰七年秘书监赵彦若等校定刊行旧本，常熟毛扆得之章邱李氏，而影抄传之者。今详加勘正，其文间有脱阙，不敢妄补。谨撮取其义，别加图说，附诸本文之左，以便观览云。

△《数学九章》·十八卷（永乐大典本）

宋秦九韶撰。九韶始末未详。惟据原序自称其籍曰鲁郡。然序题淳祐七年，鲁郡已久入於元。九韶盖署其祖贯，未详实为何许人也。是书分为九类。一曰大衍，以奇零求总数为九类之纲。二曰天时，以步气朔晷影及五星伏见。三曰田域，以推方圆幂积。四曰测望，以推高深广远。五曰赋役，以均租税力役。六曰钱穀，以权轻重出入。七曰营建，以度土功。八曰军旅，以定行阵。九曰市易，以治交易。虽以《九章》为名，而与古《九章》门目迥别，盖古法设其术，九韶则别其用耳。宋代诸儒，尚虚谈而薄实用。数虽圣门六艺之一，亦鄙之不言，即有谈数学者，亦不过推衍河洛之奇偶，於人事无关。故乐屡争而不决，历亦每变而愈舛，岂非算术不明，惟凭臆断之故欤？数百年中，惟沈括究心是事，而自《梦溪笔谈》以外，未有成书。九韶当宋末造，独崛起而明绝学。其中如大衍类蓍卦发微，欲以新术改《周易揲蓍》之法，殊乖古义。古历会稽题数既误，且为设问以明大衍之理，初不计前后多少之历过，尤非实据。天时类缀术推星，本非方程法，而术曰方程，复於草中多设一数以合方程行列，更为牵合。所载皆平气平朔，凡晷影长短，五星迟疾，皆设数加减，不过得其大概，较今之定气定朔，用三角形推算者，亦为未密。然自秦、汉以来，成法相传，未有言其立法之意者。惟此书大衍术中所载立天元一法，能举立法之意而言之。其用虽仅一端，而以零数推总数，足以尽奇偶和较之变，至为精妙。苟得其意而用之，凡诸法所不能得者，皆随所用而无不通。后元郭守敬用之於弧矢，李冶用之於勾股方圆，欧逻巴新法易其名曰借根方，用之於九章八线，其源实开自九韶，亦可谓有功於算术者矣。至於田域、测望、赋役、钱穀、营建、军旅、市易七类、皆扩充古法，取事命题，虽条目纷纭，曲折往复，不免瑕瑜互见，而其精确者居多，今即《永乐大典》所载，於其误者正之，疏者辨之，颠倒者次第之，各加案语於下。庶得失不掩，俾算家有所稽考焉。

△《测圆海镜》·十二卷（编修李潢家藏本）

元李冶撰。冶字镜斋，栾城人。金末登进士，入元官翰林学士。事迹具《元史》本传。其书以勾股容圆为题，自圆心圆外纵横取之，得大小十五形，皆无奇零。次列识别杂记数百条，以穷其理。次设问一百七十则，以尽其用。探赜索隐，参伍错综，虽习其法者，不能骤解。而其草则多言立天元一。按立天元一法见於宋秦九韶《九章大衍数》中，厥后《授时草》及《四元玉鉴》等书皆屡见之，而此书言之独详，其关乎数学者甚大。然自元以来，畴人皆株守立成，习而不察。

至明，遂无知其法者。故唐顺之与顾应祥书，谓立天元一，漫不省为何语。顾应祥演是书为分类释术，其自序亦云立天元一无下手之术，则是书虽存，而其传已泯矣。明万历中，利玛窦与徐光启、李之藻等译为《同文算指》诸书，於古《九章》皆有辨订，独於立天元一法阙而不言。徐光启於《勾股义序》中引此书，又谓欲说其义而未遑。是此书已为利玛窦所见，而犹未得其解也。迨我国家，醲化翔洽，梯航鳞萃，欧逻巴人始以借根方法进呈，圣祖仁皇帝授蒙养斋诸臣习之。

梅瑴成乃悟即古立天元一法，於《赤水遗珍》中详解之。且载西名阿尔热巴拉（案：原本作阿尔热巴达，谨据西洋借根法改正），即华言东来法。知即冶之遗书流入西域，又转而还入中原也。今用以勘验西法，一一吻合，瑴成所说，信而有徵。特录存之，以为算法之秘钥。且以见中法西法互相发明，无容设畛域之见焉。

△《测圆海镜分类释术》·十卷（浙江范懋柱家天一阁藏本）

明顾应祥撰。应祥有《人代纪要》，已著录。李冶《测圆海镜》所设一百七十问中，皆有草有法。（案：前数十题中甚易者，或无草，后皆有草。）草用立天元一为虚数，合问数推之法，专用问数推之，皆归於带纵诸乘方而止。应祥得冶书於唐顺之，於立天元一语互相推求，不得其解，遂去其细草，专演算法，改为是书。自谓便於下学。殊不知立天元一之妙，能使诸法不能求者可以得其法；若无其草，即冶已有不能得其法者。而徒沾沾於加减开方之数，可谓循枝叶而失本根者矣。唐顺之与应祥书云，此书形下之数太详，而形上之义或略，使观之者尚不免其数可陈而义难知，有与人以鸳鸯枕而不度人以金针之疑。仆意欲明公於紧要处提掇一二作法源头出来，使后世为数学者识其大者得其义，识其小者得其数，则此书尤更觉精采耳。其不足於应祥者诚是。第作法源头即立天元一一语，应祥既去之，又将何以为提掇乎？然《九章》之中，惟少广诸乘方之数为甚繁，故立方带纵之法，古已不见有和数者。冶所用有至三乘方、四乘方及五乘方者，且兼加减诸乘方廉隅，不为之详其算式，初学诚有难於取数者。冶虽专为发明立天元一术，得应祥所演诸乘方之式，亦可谓求立天元一法者之一助云。

△《益古演段》·三卷（永乐大典本）

元李冶撰。据至元壬午砚坚序，称冶《测圆海镜》既已刻梓，其亲旧省掾李师徵，复命其弟师珪请冶是编刊行。是成在《测圆海镜》之后矣。其曰《益古演段》者，盖当时某氏算书（案：冶序但称近世有某，是冶已不知作者名氏。）以方圆周径幂积和较相求，定为诸法，名《益古集》。冶以为其蕴犹匿而未发，因为之移补条目，厘定图式，演为六十四题，以阐发奥义，故踵其原名。其中有草，有条段，有图，有义。草即古立天元一法，条段即方田、少广等法，图即绘其加减开方之理，义则随图解之。盖《测圆海镜》以立天元一法为根，此书即设为问答，为初学明是法之意也。所列诸法，文皆浅显。盖此法虽为诸法之根，然神明变化，不可端倪，学者骤欲通之，茫无门径之可入。惟因方圆幂积以明之，其理犹属易见。故冶於方圆相求各题，皆以此法步之为草，俾学者得以易入。自序称今之为算者未必有刘、李之工，而褊心跼见，不肯晓然示人。惟务隐互错糅，故为溟涬黯黮，惟恐学者得窥其仿佛云云。可以见其著书之旨矣。至其条段、图、义，触类杂陈，则又以必习於诸法而后可以通此法，故取以互相发也。其书世无传本。顾应祥、唐顺之等见《测圆海镜》而不解立天元一法，遂谓秘其机以为奇，则明之中叶，业已散佚。今检《永乐大典》尚载有全编。特录存之，俾复见於世，以为算家之圭臬。砚坚序称三卷，今约略篇页，厘为三卷，其文则无所增损。惟传写讹谬者，各以本法推之，咸为校正焉。

△《弧矢算术》·一卷（浙江范懋柱家天一阁藏本）

明顾应祥撰。弧矢之法，始于元郭守敬《授时历草》。其有弧背求矢草，立天元一为矢云云。反覆求之，至得三乘方积数及廉隅纵数而止，不载开方算式，大抵开诸乘方法尚为当时畴人所习，故不赘言，抑或别为专书，故不复演欤？其弧矢相求，及弧容直阔诸法，皆以勾股法御之。明唐顺之谓为步日躔月离源头，作弧矢论，以示顾应祥。应祥遂演为是书，名其编曰《弧矢术》。应祥未明立天元一法，故置之不论。惟补其开带纵三乘方之式，并详各弧矢相求之法，与测《圆海镜》、《分类释术》之作略同，其可资初学之讲肄者，亦略相等也。

△《同文算指前编》·二卷、《通编》·八卷（两江总督采进本）

明李之藻演西人利玛窦所译之书也。前编上、下二卷，言笔算定位、加减乘除之式，及约分、通分之法。通编八卷，以西术论《九章》。卷一曰三率准测，即古异乘同除。曰变测，即古同乘异除。曰重测，即古同乘同除。卷二、卷三曰合类差分。曰和较三率，曰洪衰互徵，即古差分，又谓之衰分。卷四曰叠借互徵，即古盈朒。卷五曰杂和较乘，即古方程。卷六曰测量三率，即古勾股。曰开平方，曰奇零开平方，即古少广。卷七曰积较和开平方。卷八曰带纵诸变开平方。

曰开立方。曰广诸乘方。曰奇零诸乘方。皆即古少广。案《九章》乃《周礼》之遗法，其用各殊，为后世言数者所不能易。西法惟开方（即古少广）勾股各有专术，馀皆以三率御之。若方田、粟米、差分、商功、均输五章，本可以三率御之。

至於盈朒以御隐。杂互见，方程以御错糅正负，则三率不可御矣。盖中法、西法固各有所长，莫能相掩也。是书欲以西法易《九章》，故较量长短，俱有增补。

其论三率比例，视中土所传方田、粟米、差分诸术实为详悉。至盈朒、方程二术则皆仍旧法。少广略而未备，且法与数多出入之处。梅文鼎《方程馀论》曰：《几何原本》言勾股三角备矣。《同文算指》於盈朒、方程取古人之法以传之，非利氏之所传也。又曰：诸书之谬误，皆沿之而不能察，其必非知之而不用，能言之而不悉，亦可见矣。诚确论也。然中土算书，自元以来，散失尤甚，未有能起而蒐辑之者。利氏独不惮其烦，积日累月，取诸法而合订是编，亦可以为算家考古之资矣。

△《几何原本》·六卷（两江总督采进本）

西洋人欧几里得撰。利玛窦译而徐光启所笔受也。欧几里得未详何时人。据利玛窦序云，中古闻士。其原书十三卷，五百馀题，利玛窦之师丁氏为之集解，又续补二卷於后，共为十五卷。今止六卷者，徐光启自序云，译受是书，此其最要者，遂刊之。其书每卷有界说，有公论，有设题。界说者，先取所用名目解说之。公论者，举其不可疑之理。设题则据所欲言之理，次第设之，先其易者，次其难者，由浅而深，由简而繁，推之至於无以复加而后已。是为一卷。每题有法，有解，有论，有系，法言题用，解述题意，论则发明其所以然之理，系则又有旁通者焉。卷一论三角形，卷二论线，卷三论圆，卷四论圆内外形，卷五、卷六俱论比例。其於三角、方圆、边、线、面积、体积比例变化相生之义，无不曲折尽显，纤微毕露。光启序称其穷方圆平直之情，尽规矩准绳之用，非虚语也。又案此