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62重心运动的守恒原理及能量的惯性62（第2页）

（1V）·?M?t=?Z?x-?X?z，

（1V）·?N?t=?X?y-?Y?x。

其中，ρ=?X?x+?Y?y+?Z?z，表示电密度的4π倍。

（注：上述方程1《爱因斯坦全集》注释[3]说“这个方程的第一项应为‘’，下面的方程的第一项应为‘’”。

论文《关于重心运动的守恒原理》这一部分的讨论类似狭义相对论第二大部分电动力学部分，对不熟悉麦克斯韦电动力学的读者来说只能大体看个论文思路的总体逻辑，具体的公式推导和公式含义就没法解释太详细了。）

将方程1中的各个方程分别乘上VXx（4π），VYx（4π）…，VNx（4π）再加起来，并对整个空间积分，进行几次部分积分，就得到方程2：

=0，

∫[ρx（uX+υY+wZ）dτ]（4π）+d[∫x·（X2+Y2…+N2）dτ（8π）]dt-V（4π）·∫（YN-ZM）dτ=0

（注：上述方程2《爱因斯坦全集》注释[4]说“积分的系数应为‘-V4π’。根据后文内容可知是第三项‘-’最前面的系数为‘-V4π’。”）

方程2的第一项∫[ρx（uX+υY+wZ）dτ]（4π）代表电磁场提供给物体m1，m2，…，mn的能量E。

根据质量m依赖于能量E的假设，获得了电磁能的单个质点mn会改变其能量，从而也改变它们的质量，则方程2的第一项∫[ρx（uX+υY+wZ）dτ]（4π）与表达式3相等：V2·∑xn（dmndt）。

（注：∑xn（dmndt）是质能方程E=mc2中的质量m项，这里笔者认为是物体m1，m2，…，mn的质量和重心的乘积，用的依然是重心守恒定律，方程2的第一项∫[ρx（uX+υY+wZ）dτ]（4π）也是包含着重心坐标χ的。）

赋予电磁场以质量密度（ρe），它和能量密度差一个因子1V2（注：根据质能方程），那么方程2的第二项d[∫x·（X2+Y2…+N2）dτ（8π）]dt就变为表达式4：

V2·[d（∫xρedτ）]d

（注：[d（∫xρedτ）]dt是质能方程E=mc2中的质量m项，这里是电磁场的质量和重心的乘积，根据电磁学，电磁场也具有质量、动量以及能量，而方程2的第二项d[∫x·（X2+Y2…+N2）dτ（8π）]dt也是包含着重心坐标χ的。）

将表达式3和表达式4代入方程2，并设第三项积分为J，则方程2变为方程5：

∑xn（dmndt）+d（∫xρedτ）dt-J（4πV）=0

（注：方程5这里第三项的系数就是由方程2第三项系数为“-V4π”化简得来的，方程2到方程5的变化，就是代入表达式3和表达式4后共同除以了共同因数V2得来的。）

为了找出方程2第三项积分J的意义，爱因斯坦在论文中用NV，-MV，-ZV，YV乘以方程1的第二、第三、第五和第六式，并把它相加再对空间积分，利用几次部分积分后就得到了方程6：

dJdt=-4πV·∫[ρ（X+υNV-wMV）dτ]（4π）=-4πVRχ

（注：上述方程6《爱因斯坦全集》注释[6]说“最后一项应为‘-4πVRχ’。”）

在论文中爱因斯坦对方程6中的Rχ进行了文字说明：“这里Rχ是电磁场作用到质量m1，m2，…，mn上的所有力在X分量的代数和。由于保守的相互作用引起的所有力的总和为零，Rχ同时是所有作用到质量mv上的X分量的力的总和（注：mv是质量m1，m2，…，mn的总静止质量，没有考虑进相对论质能方程的质增效应）。”

接下来，针对方程6，爱因斯坦在论文中以两种情况做了考察，首先情况一，假设质量与能量无关，则单个质点mv的运动方程为方程7：

mv·（d2xvdt2）=d[mv·（dxvdt）]dt=Жv

其中，Жv所有作用到mv上的力的X分量的合力。

（注：方程7即为牛顿第二定律的微分形式，如果mv是不变量，则为方程7；

如果考虑质能方程，则为+

d[mv·（dxvdt）]dt=mv·（d2xvdt2）+（dmvdt）·（dxvdt），这后一个关系和物理学教科书里的相对论力学方程一个意思