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57关于布朗运动的理论第35部分57（第2页）

其中w是单个悬浮粒子速度，K是作用在悬浮粒子上的力，k是液体的摩擦系数，P是悬浮粒子半径。

根据上述公式可得物理体系关于参数α的迁移率B为公式18：

B=1（6πkP）

将公式18代入公式17即得悬浮球在X轴方向上的平均位移的值为公式19：

√Δx2=√[RTt（N·3πkP）]

公式17的应用场景一就此结束，轻松解决爱因斯坦1905年奇迹年的五大论文之一《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》的问题。

公式17的应用场景二为计算悬浮球在液体中绕它的直径作（无向位摩擦的）自由转动的平均转动值√Δr2。

根据基尔霍夫《力学讲义》中计算悬浮质旋转角速度为公式20：

ψ=D（8πkP3）

其中ψ是单个悬浮粒子旋转角速度，D是作用在悬浮粒子上的动量矩，是液体的摩擦系数，P是悬浮粒子半径。

根据上述公式可得体系关于参数α的迁移率B为公式21：

B=1（8πkP3）

将公式21代入公式17即得悬浮球在液体中绕它的直径作（无向位摩擦的）自由转动的平均转动值√Δr2为公式22：

√Δr2=√[RTt（N·4πkP3）]

对比公式19和公式22可知，由分子运动所引起的旋转运动（P3）随着P的增加而减少的程度要比平移运动（P2）快得多。

在论文中爱因斯坦拿实验数据代入了公式22得出了相应的理论计算值：“对于P=0。5mm以及17℃的水，这公式（注：公式22）给出1秒钟内所经历的角平均大约是11“；在一小时内大约11′。对于P=0。5μm以及17℃的水，对于t=1秒钟我们得到大约100角。”

后来在1909年，佩兰对根据爱因斯坦的公式代入最新的数据预测的结果作了实验检验，他用了直径约13μm的树脂粒子，它们包含有小的内含物，从而使他能够观察它们的旋转运动，他求得的实验值同爱因斯坦的公式预测的值符合得很好。

在第四部分的最后，爱因斯坦简略的提到了公式17[√Δ2=√（2RBTtN）]在其他方面可能的应用：“所推导出的这个关于√Δ2的公式还可以用于别的情况。比如，要是用闭电路的电阻的倒数来代替B，那么这公式就表明在时间t内平均有多少电通过任何一个导体的横截面，这个关系式又是同那个关于长波长和高温的黑体辐射的极限定律有联系的。可是，既然我未能找到更多的可供实验验证的结果，所以在我看来，去讨论更多的特殊情况，那是无益的。”

展望了公式17应用前景广泛后，论文第四部分就正式结束了，第五部分题为《关于√Δ2公式有效的极限》，这一部分讨论的是论文开始研究目的部分提出的第三点——理论推导可观测到布朗运动的时间下限。

首先物理体系参数α由于分子热运动的关系导致的平均变化速度为公式23：

√Δ2t=√[2RBT（N·√t）]

在论文中对着公式23爱因斯坦给出了比较详细的文字说明：

“（参数α平均变化速度）对于无限小的时间间隔t就变成了无限大，这显然是不可能的，否则每个悬浮粒子都必须以无限大的瞬时速度在运动。这个缘由在于，在我们的推导中，我们暗中假定了：时间t内的现象过程必须被看做是同其紧接着的前面时间内的现象过程无关的事件。但是，所选取的时间t越短，这个假定就越难站得住脚。”

接着，爱因斯坦对上述的文字论断进行了理论说明：

设时间z=0时，变化速度的瞬时值为dadt=β0；

设在时间z=0以后的某个时间间隔内，变化速度β不受不规则的热过程的影响，而仅仅取决于被动阻力（1B），则有关系式24：

-μ·dβdz=βB

对于参数μ爱因斯坦给出了一段比较详细的文字说明：“这里，μ是由μ（β22）应该对应于变化速度β的能量这一规定来定义的。因此，比如在悬浮球的平移运动的情况下，μ（β22）就是球的动能连同被球带动的液体的动能。”

其实，简单说μ就是体系点的质量，β（时间z=0以后的某个时间间隔内变化速度）和β0（时间z=0时，变化速度的瞬时值）的关系为公式25：

Β=β0·e-z（μB）

（注：根据关系式24积分可得公式25。）

在对公式25的两段文字评说中爱因斯坦正式结束了论文《关于布朗运动的理论》：

“由这一结果（注：公式25），我们可以断定：公式17[√Δ2=√（2RBTtN）]只是对于那些比μB大的时间间隔才能成立（注：此时β≦β0）。

对于直径为1μm和密度ρ=1的小物体，在室温的水中，公式17的有效性的下限大约是10-7秒；这个时间间隔的下限同小微粒半径的平方按比例而增大。无论对于粒子的平移运动还是对于粒子的旋转运动，都同样成立。”

爱因斯坦关于布朗运动的第二篇论文《关于布朗运动的理论》就此正式结束了，此篇论文从理论角度阐述布朗运动的结论公式17[√Δ2=√（2RBTtN）]比前一篇论文结论公式[lx=√x2=√（2Dt）]的适用性更广，通过确定物理体系关于参数α的迁移率B的不同表达式可以将公式17应用到不同的研究领域。

阿尔伯特·爱因斯坦的1905奇迹年第六篇论文《关于布朗运动的理论》于1905年12月19日被《物理学年鉴》收到，最终于1906年2月8日发表。